T-61.5020 Luonnollisten kielten tilastollinen käsittely
Harjoitus 10, ke 4.4.2007, 12:15-14:00 -- Markov-ketjut ja kätketyt Markov-mallit
Versio 1.0

1.

Kauniissa Turun kaupungissa on tutkittu sään vaihtelua. Joka päivä 12:00 on Samppalinnanmäeltä katsottu taivaalle ja kirjattu onko päivä aurinkoinen ($S_1$), pilvinen ($S_2$) vai sateinen ($S_3$). Näistä havainnoista on laskettu seuraavat siirtymätodennäköisyydet:

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} 0.8 & 0.15 & 0.05 \\ 0.4 & 0.5 & 0.1 \\ 0.3 & 0.3 & 0.4 \\ \end{array} \right]$$

Tässä taulukon alkio $a_{ij}$ kuvaa siirtymätodennäköisyyttä tilasta $S_i$ tilaan $S_j$. Esimerkiksi todennäköisyys, että pilvistä päivää seuraa aurinkoinen on $0.4$.

a)

Piirrä Turun säätila Markov-ketjuna

b)

Tänään on pilvistä. Millä todennäköisyydellä seuraava viiden päivä sääsekvenssi seuraa: huomenna sataa, ylihuomenna on pilvistä, sitten tulee 3 aurinkoista päivää?

c)

Kuinka monta aurinkoista päivää peräkkäin on keskimäärin Turussa?

2.

Olet kolmen päivän lomalla Hawajilla. Sinua rupeaa suunnattomasti kiinnostamaan, millainen sää Turussa on. Paikallisissa lehdissä on kuitenkin kerrottu vain Turun seudun lämpötila. Osaat kuitenkin arvioida esim. millä todennäköisyydellä $P(x< -5^\circ C ~\vert~ q=S_1) = b_1(x \le -5^\circ C)$ aurinkoisena päivänä on yli 5 astetta pakkasta. Tarkemmin ilmaistuna

$$\begin{array}{lcc} b_1(x \le -5^\circ C ) &=&0.8\\ b_1(-5^\... ...^\circ C ) &=&0.4\\ b_3(x \ge 5^\circ C )&=&0.3\\ \end{array}$$

Lähtiessäsi lomalle Turusta, siellä oli aurinkoista.

a)

Kolme päivää kuluu, loma loppuu ja on aika palata takaisin. Haluat arvioida, millainen sää palatessasi on, jotta osaat pukeutua paluumatkalle oikein. Lämpötilat Turussa olivat $7^\circ C$, $3^\circ C$ ja $-8^\circ C$. Laske siis kunkin säätilan todennäköisyydet paluupäivänäsi. Ratkaisussa suositellaan käytettäväksi forward-algoritmia, brutaalilla voimalla kaikkien ratkaisujen läpikäynti lienee hieman työlästä.

b)

Lentokoneessa matkaalla takaisin pohdiskelet aikasi kuluksi, minkähänlainen sää on lomalla ollessasi Turussa ollut. Etsi siis todennäköisin tilasekvenssi. Viterbi-haulla voi tämän tehdä vähimmällä määrällä laskutoimituksia.