T-61.5020 Luonnollisen kielen tilastollinen käsittely
Vastaukset 5, ke 21.2.2007, 12:15-14:00 -- Kollokaatiot
Versio 1.0

1.
Lasketaan ensin tulokset sanaparille ``valkoinen'',''talo'' käsin: Kaikkien sanojen tulokset frekvenssimenetelmälle on esitetty taulukossa 1 ja normalisoidulle frekvenssimenetelmälle taulukossa 2.


Taulukko: Frekvenssimenetelmän tulokset
$ s_1$ $ s_2$ $ C(s_1,s_2)$
ja olla 7329
venäjä presidentti 717
valkoinen talo 710
kova tuuli 279
aste pakkanen 160
tuntematon sotilas 154
sekä myös 138
liukas keli 106
hakea työ 31
oppia lukea 21
ottaa onki 9
vihainen mielenosoittaja 7
olla ula 5
heittää veivi 3
herne nenä 3


Taulukko: Normalisoidun frekvenssimenetelmän tulokset
$ s_1$ $ s_2$ Normalisoitu frekvenssi $ \cdot10^{-8}$
liukas keli 1981
aste pakkanen 386
heittää veivi 293
herne nenä 268
valkoinen talo 180
tuntematon sotilas 163
vihainen mielenosoittaja 68
kova tuuli 35
ottaa onki 21
venäjä presidentti 10
oppia lukea 8
hakea työ 1
olla ula 0
sekä myös 0
ja olla 0

Huomataan, että jo ``hihasta ravistetuilla'' menetelmillä päästään kohtalaisiin tuloksiin.

2.
Lasketaan käsin malliksi tulos jo tutulle kollokaatiolla ``valkoinen'', ``talo''. Keskiarvo:
$\displaystyle Mean(\textrm{\lq\lq valkoinen''},\textrm{''talo''})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{-1\cdot 710 -2 \cdot 2 + 1 + 2 \cdot 6 } {710 +2+1 + 6 }$  
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle -0.975$  

Varianssi
    $\displaystyle Var(\textrm{\lq\lq valkoinen''},\textrm{''talo''})$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(\!-1\! - \!(\!-\!0.975))^2\cdot710 +(\!-2\!-\!(\!-\!0.975)... ...+ (1\!-\!(\!-\!0.975))^2\cdot1 + (2\!-\!(\!-\!0.975))^2\cdot6 } {710 +2+1 + 6 }$  
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle 0.083$  

Lopuille sanoille tulokset on annettu varianssin mukaan järjestettynä taulukossa 3.


Taulukko: Pienimmän varianssin mukaan järjestetyt tulokset
$ s_1$ $ s_2$ Keskiarvo Varianssi
herne nenä -1.000 0.000
vihainen mielenosoittaja -1.000 0.000
tuntematon sotilas -1.025 0.025
valkoinen talo -0.975 0.083
ottaa onki -1.250 0.188
venäjä presidentti -1.128 0.472
kova tuuli -0.880 0.492
liukas keli -0.788 0.608
oppia lukea -0.606 1.087
heittää veivi -0.500 1.250
aste pakkanen -0.465 1.347
hakea työ -0.433 2.046
olla ula -0.250 2.438
sekä myös 0.252 2.981
ja olla -0.083 3.635

Taulukkoa tarkastellessamme huomaamme, että menetelmä on löytänyt käytännössä kaikki kiinteät kollokaatiot, kuten valkoinen talo. Menetelmä ei pärjää hyvin harvalla aineistolla, esim. vihainen mielenosoittaja ei selvästikään ole kollokaatio, vaikka menetelmä sen toiseksi sijoittaakin.

Tarkasteluikkunan leveys vaikuttaa tietysti alueeseen, josta kollokaatioita etsitään. Jos aluetta kasvatetaan liian suureksi, rupeavat sanat esiintymään yhä useammin myös satunnaisesti yhdessä ja varianssi kasvaa suureksi. Liian pienellä ikkunalla ei pidempivaikutteisia kollokaatioita löydetä. Jos kollokaation toinen sana voi olla sekä referenssisanan edessä että takana, menetelmä tietysti hämääntyy täydellisesti.

3.
Tilastollisissa testeissä tehdään nollahypoteesi siitä että sanapari on toisistaan riippumaton ( $ P(s_1, s_2) = P(s_1) P(s_2)$), ja tästä poikkevat havainnot ovat sattuman aikaansaamia. Testi antaa luotettavuustason hypoteesin paikkaansapitävyydelle. Yleensä tasoksi, jolla nollahypoteesia ei enää hyväksytä, valitaan enintään $ 0,05$.

T-testissä oletetaan että todennäköisyydet ovat normaalijakautuneita, ja tutkitaan eroaako havaintojoukon odotusarvo nollahypoteesin antaman jakauman odotusarvosta. Lasketaan siis t-arvot

$\displaystyle t = \frac{\hat{x} - \mu}{\sqrt{\frac{s^2}{N}}},$    

missä $ \hat{x}$ on näytejoukon keskiarvo, $ s^2$ näytejoukon varianssi, $ N$ näytteiden lukumäärä ja $ \mu$ jakauman keskiarvo. Tässä tapauksessa
$\displaystyle \mu$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(s_1) P(s_2) = \frac{C(s_1)}N \frac{C(s_2)}N$  
$\displaystyle \hat{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{C(s_1, s_2)}N = \hat{p}$  
$\displaystyle s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle p(1-p) = \hat{p}(1-\hat{p}) \approx \hat{p}$  

Esimerkiksi sanaparille ``valkoinen talo'' saadaan

$\displaystyle t = \frac{\frac{710}{28181344} - \frac{2665 \cdot 10767}{28181344^2}} {\sqrt{\frac{710}{28181344^2}}} \approx 27$    

Jos t-testin tulos on yli 6.314, näyte on vedetty alle 5% todennäköisyydellä riippumattomasta jakaumasta. Valkoinen talo vaikuttaa siis kollokaatiolta. Taulukossa 4 on kaikkien sanojen tulokset. Huomataan, että viimeiset sanaparit saivat negatiivisia arvoja. Tämä johtuu siitä että ne esiintyvät vierekkäin harvemmin kuin nollahypoteesi antaa olettaa.



Taulukko: t-testin tulokset
$ s_1$ $ s_2$ $ t$
valkoinen talo 27
venäjä presidentti 26
kova tuuli 17
aste pakkanen 13
tuntematon sotilas 12
liukas keli 10
oppia lukea 4
hakea työ 4
ottaa onki 3
vihainen mielenosoittaja 3
heittää veivi 2
herne nenä 2
olla ula 0
sekä myös -9
ja olla -385

$ \chi ^2$-testissä katsotaan annettujen sanojen esiintymistodennäköisyydet ja lasketaan niiden perusteella, kuinka monta kertaa sanojen pitäisi esiintyä yhdessä. Tätä lukua verrataan havaittuun lukuun ja jos nämä poikkeavat suuresti toisistaan, todetaan että sanojen pitää olla kollokaatioita.

Aloitetaan kasaamalla seuraavanlainen taulukko (taulukko 5):

Taulukko: $ \chi ^2$-testissä tarvittavia suureita.
  $ w_1$=valkoinen $ w_1 \ne$ valkoinen
$ w_2=$talo 710 (valkoinen talo) $ 10767-710=10057$ (punainen talo)
$ w_2\ne$talo $ 3665-710=2955$ (valkoinen mopo) $ 28181344-710-10057-2955=28167622$ (punainen mopo)

Nämä arvot voidaan sijoittaa sitten kahden muuttujan $ \chi ^2$-testin kaavaan:

$\displaystyle \chi^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{N(O_{11}O_{22}-O_{12}O_{21})^2} {(O_{11}+O_{12})(O_{11}+O_{21})(O_{12}+O_{22})(O_{21}+O_{22})}$  

Luvut sijoittamalla saadaan siis:
$\displaystyle \chi^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{28181344(710\cdot28167622 -10057\cdot 2955)^2} {(710+10057)(710+2955)(10056+28167622)(2955+28167622)}$  
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle 358771$  

Jos $ \chi ^2$-testin tulos on yli 3.843, näyte on vedetty alle 5% todennäköisyydellä riippumattomasta jakaumasta. Tässä siis valkoinen talo vaikuttaa kollokaatiolta. Kuitenkin kun katsomme taulukkoa 6, huomaamme että melkein kaikki sanat olisivat sen mukaan kollokaatioita. $ \chi ^2$-testihän ei testaa sitä, ovatko sanat kollokaatioita, vaan sitä että ovatko sanat riippumattomia. Esimerkiksi sanapari ``ja'', ``olla'' on melko korkealla tuloksissa, sillä näiden kahden sanan välillä esiintyy negatiivinen korrelaatio: sanat esiintyvät harvemmin peräkkäin kuin niiden satunnaisuuden mukaan pitäisi. Tätä riippuvuutta ei voida tietysti pitää merkkinä siitä, että sanat olisivat kollokaatioita.



Taulukko: $ \chi ^2$-testin tulokset
$ s_1$ $ s_2$ $ \chi ^2$
liukas keli 591591
valkoinen talo 358771
aste pakkanen 173726
tuntematon sotilas 70409
ja olla 29194
kova tuuli 26644
venäjä presidentti 18147
heittää veivi 4120
herne nenä 2258
vihainen mielenosoittaja 1321
ottaa onki 525
oppia lukea 449
hakea työ 47
sekä myös 45
olla ula 0

4.
Yhteisinformaatio kertoo, kuinka paljon lisätietoa $ X$:n havaitseminen antaa $ Y$:stä. Jos $ X$ ja $ Y$ ovat riippumattomia, yhteisinformaatio on nolla. Lasketaan käsin malliksi tulos sanaparille ``valkoinen'',''talo''.
$\displaystyle I(x,y)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_2\frac{P(X,Y)}{P(X)P(Y)}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_2\frac{\frac{710}{28181344}}{\frac{3665}{28181344}\frac{10767}{28181344}}$  
  $\displaystyle \approx$ $\displaystyle 9.0$  

Tulokset koko sanajoukolle on esitetty taulukossa 7.


Taulukko: Yhteisinformaation mukaan järjestetyt tulokset
$ s_1$ $ s_2$ MI
liukas keli 12.4
aste pakkanen 10.1
heittää veivi 9.7
herne nenä 9.6
valkoinen talo 9.0
tuntematon sotilas 8.8
vihainen mielenosoittaja 7.6
kova tuuli 6.6
ottaa onki 5.9
venäjä presidentti 4.8
oppia lukea 4.5
hakea työ 1.7
olla ula 0.5
sekä myös -0.8
ja olla -2.5

Tulokset vaikuttavat hyviltä. Hieman kommenttia kirjan kritikkiin, että menetelmä erityisesti suosisi harvinaisia sanoja: Yksi tekijä joka tähän johtaa, on laskussa käytettyjen todennäköisyyksien estimointi -- tässä käytetään maksimiuskottavuusestimaattoreita. Paremman tuloksen saa varmasti, jos asettaa sanapareille priorin, että ne ovat riippumattomia ja antaa datan sitten muokata tätä oletusta.

Yhteenvetona koko laskarista voisi sanoa vaikka seuraavaa: Heuristisilla menetelmillä (1. ja 2. tehtävä) voidaan päästä helpohkosti kohtalaisiin tuloksiin. Tehtävissä 3-4 sinänsä perustellut matemaattiset mallit mittaavat sanojen esiintymisen korrelaatiota, ei sitä, ovatko sanat kollokaatioita. Näillä menetelmillä voidaan silti saada hyviä tuloksia. Tilastomatematiikkaa on ehkä vaikeampi hahmottaa ja sitä käyttäessä on ymmärrettävä testin vaatimat oletukset. Todennäköisyyslaskuissa (4. tehtävä) nämä oletukset tuodaan eksplisiittisemmin esille. Todennäköisyyteen perustuvissa laskuissa joutuu myös harkitsemaan, miten tarvittavat todennäköisyydet approksimoidaan. Tässä on käytetty suurimman uskottavuuden estimaatteja (ML), jotka ovat ehkä liian herkkiä satunnaisvaihtelulle, kun näytteitä on suhteessa vähän. Parempana estimaattina voisi käyttää maksimi a posteriori (MAP) -estimaattia, jossa prioriuskomuksena olisi, että sanat eivät ole riippuvia. Tällöin malli väittäisi sanoja riippuviksi vasta kuin riittävä määrä dataa todistaa asian puolesta.


svirpioj@cis.hut.fi