[ Takaisin laskarisivulle | pääsivulle ]

K8, DL 6.4.2005, kevät 2005

Tehtävä 1

Fourier-muunnokset, nyt siis jatkuva-aikainen signaali x(t), jolle jatkuva-aikainen Fourier-muunnos (CTFT).

a) X(j Omega) = 1
b) X(j Omega) = 2 e^-jw
c) X(j Omega) = 4 e^jw sin(w) / w
d) X(j Omega) = (pi/j) [delta(w-4pi) - delta(w+4pi)]
eli toisin sanoen taajuusakselilla kohdissa -4pi ja +4pi piikit (pi/j), jolloin esim. itseisarvo |X(j Omega)| = pi.

Tehtävä 2

Diskreettiaikaisen sekvenssin x[n] Fourier-muunnokselle pätee siis:
X(e^jw) = X(e^-jw)*
jossa * kompleksikonjugointi. Tällöin mm.
|X(e^jw)| = |X(e^-jw)| (parillinen funktio, kuten esim. kosini)
ja muistetaan, että digitaalisella puolella spektri on jaksollinen 2pi:n (näytteenottotaajuuden) välein.

z = 2 + j = r e^jw
r = sqrt(2^2 + 1^2) = sqrt(5) ~ 2.2
w = arctan(1/2) ~ 0.46

a) 2.2
b) 2.2
c) 0.46
d) -0.46

Tehtävä 3

Tässä haluttiin nimenomaan integrointiharjoitusta.

X(j Omega) = int_{-2..2} 3 e^{-j Omega t} dt
           = (6/Omega) sin(2 Omega)
           = 12 sinc(2 Omega/pi)
X(0) = 12

Tehtävä 4

Taulukko on rakas ystävä. a) yksikköympyrällä mennään kulmaan -3pi/4, Eulerin kaavalla e^jw = cos(w) + j sin(w) = sqrt(2) (1-j)
b) -1
c) a_k = a*_-k eli
|a_k| = |a_-k|
d) kaksi mitä tahansa
e) Parsevalilla 20.05

Tehtävä 5

Kinkkinen.

a) F{ t e^|-t|} = -4jw / (1+w^2)^2 käyttäen hyväksi kaavakokoelman F{ t x(t)} = j d/dw X(jw)

b) Oppenheimin kirjan esimerkin mukaisesti F{ 4t / (1+t^2)^2 } = -2 pi j w e^|-w|

Esimerkkisivu on kopsattu paperisena Info-labran ilmoitustaululle, T-talon 3. kerros.

Tehtävä 6

b-kohdassa geometrisen sarjan summa: sum_{k=0 .. oo} q^k = 1/(1-q)

a) 1 + 2 e^-jw + 3 e^-j2w

b) ... = 4 sum_n 0.25^n e^-jwn
= 4 sum_n (0.25 e^-jw)^n
= 4 / (1 -0.25 e^-jw)

[ Takaisin laskarisivulle | pääsivulle ]

http://www.cis.hut.fi/teaching/T-61.140/Laskarit/komm_K8_k05.shtml
t61140@cis.hut.fi
Wednesday, 13-Apr-2005 13:11:49 EEST