Asiakkaat Cn saapuvat jonoon ajanhetkillä
. Saapumisten väliset ajat ovat siten
. Usein oletetaan, että tn on peräisin
satunnaisjakautumasta, jonka kertymäfunktio olkoon A(t). Asiakkaan
Cn palveluaika xn on puolestaan peräisin
satunnaisjakautumasta B(x). Jonon pituutta merkitään
NQ(t):llä ja palvelijoiden määrää s:llä. Asiakkaan Cn
odotusaika - eli jonossa vietetty aika - on puolestaan wn.
Yksinkertaisimmissa malleissa oletetaan, että A(t) ja B(x) eivät
riipu jonotussysteemin tilasta tai ajanhetkestä , mikä ei
tietenkään pidä aina paikkaansa reaalimaailmassa. Jos esimerkiksi
ruokalan jono kasvaa, alkaa usein saapumisten väliaika pidentyä, kun
ihmiset valitsevat jonkin vähemmän ruuhkaisen paikan. Ruuhkaisessa
palvelussa taas esimerkiksi palveluaika voi lyhetä tehokkuuden
kasvaessa, tai kasvaa, jos palvelija rasituksen vuoksi ei voi toimia
enää tehokkaasti. Sen lisäksi saapumis- ja palveluprosessi riippuvat
käytännössä tietysti myös lukuisista muista tekijöistä. Ruokalan
asiakkaiden saapuminen on varmaankin selkeästi kytköksissä
kellonaikaan, viikonpäivään ja ruokalistaan.
Määritellään keskimääräinen saapumisten välinen aika ja keskimääräinen
palveluaika. Koska oletetaan, että kaikki tn ja xn ovat peräisin
samoista jakautumista, merkitään yksinkertaisesti
ja
. Määritellään
keskimääräinen saapumisintensiteetti
. Samoin saadaan keskimääräinen
palveluintensiteetti
. Näiden
parametrien avulla voidaan määritellä systeemin
liikenneintensiteetti
:
![]() |
(16) |
![]() |
(17) |
Jotta jono pysyisi pitkällä aikavälillä äärellisenä on käyttöasteen oltava alle yksi; muuten jono kasvaa rajatta.
Jonotusjärjestelmiä kuvataan esimerkiksi seuraavilla merkintätavoilla
A/B/s/K/M, tai lyhyemmin
A/B/s,
jossa A on saapumisten ja B palveluaikojen väliaikojen jakautuma. Jakautumista käytetään yleisesti symboleita eksponentiaalinen (M), Erlang-jakautuma (Er), hypereksponentiaalinen jakautuma (HR), ei-satunnainen eli deterministinen jakautuma (D) ja yleinen jakautuma (G).
Merkinnän pidemmässä muodossa K kuvaa jonotuspaikkojen määrää ja M
potentiaalisten jonottajien populaatiota. Jos jälkimmäiset on jätetty
pois, ne oletetaan äärettömiksi, ts. M/M/s tarkoittaa samaa kuin
. M/M/s-jono on yksinkertainen jonomalli, joka
suurin piirtein kuvaa tässä työssä käsiteltävää järjestelmää. Mallille
voidaan johtaa tasapainotilassa keskimääräinen jonon pituus NQ:
![]() |
(18) |
![]() |
(19) |
![]() |
(20) |
Keskimääräinen jonotusaika WQ voidaan laskea tästä jonoteoriassa keskeisen Littlen kaavan avulla
![]() |
(21) |
eli keskimääräinen jonon pituus tasapainotilassa on saapumisintensiteetti kertaa keskimääräinen odotusaika.